Aljabar

Aljabar merupakan suatu bentuk matematika di mana dalam penyajiannya mencangkup berbagai huruf yang mewakili bilangan yang belum diketahui.

Bentuk aljabar biasanya dipakai guna menyelesaikan suatu masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Penggunaan aljabar banyak digunakan untuk berbagai hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang diperlukan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang diperlukan dalam 3 hari. Semua itu bisa kita cari hasilnya dengan memakai aljabar.

Unsur Unsur Aljabar

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor

Perhatikan bentuk aljabar di bawah ini:

5x + 3y + 8x – 6y + 9.

Pada bentuk aljabar di atas, huruf x dan juga y disebut sebagai variabel.

Variabel merupakan sebuah simbol atau lambang pengganti dari suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas.

Variabel juga memiliki sebutan lain yakni peubah. Variabel pada umumnya dilambangkan dengan menggunakan huruf kecil a, b, c, …, z.

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut sebagai konstanta.

Konstanta merupakan suatu suku dari sebuah bentuk aljabar yang berwujud bilangan serta tidak memuat variabel.

Apabila sebuah bilangan a bisa diubah menjadi a = p X q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p serta q disebut sebagai faktor-faktor dari a.

Pada bentuk al jabar di atas, 5x bisa kita uraikan menjadi 5x = 5 X x atau 5x = 1 X 5x.

Sehingga, faktor-faktor dari 5x yaitu 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud dengan koefisien yaitu faktor konstanta dari sebuah suku pada bentuk al jabar.

Perhatikan koefisien pada tiap-tiap suku pada bentuk al jabar berikut: 5x + 3y + 8x – 6y + 9.

Koefisien pada suku 5x merupakan bilangan 5, pada suku 3y merupakan bilangan 3, pada suku 8x merupakan bilangan 8, serta pada suku –6y merupakan bilangan –6.

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

a) Suku

Suku merupakan suatu variabel sekaligus koefisiennya atau konstanta pada bentuk al jabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis merupakan suku yang mempunyai variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.

Sebagai contoh:

5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, …

Suku tak sejenis merupakan suatu suku yang mempunyai variabel serta pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.

Sebagai contoh:

2x dan –3×2, –y dan –x3, 5x dan –2y, …

b) Suku Satu

Suku satu merupakan bentuk aljabar yang tidak dikaitkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Sebagai contoh:

3x, 2a2, –4xy, …

c) Suku Dua

Suku dua merupakan bentuk aljabar yang dikaitkan oleh satu operasi jumlah ataupun selisih.

Sebagai contoh:

2x + 3, a2 – 4, 3×2 – 4x, …

d) Suku Tiga

Suku tiga merupakan bentuk aljabar yang dikaitkan oleh dua operasi jumlah ataupun selisih.

Sebagai contoh:

2×2 – x + 1, 3x + y – xy, …

Bentuk aljabar yang memiliki lebih dari dua suku disebut sebagai suku banyak.

Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Operasi hitung bentuk aljabar bisa berwujud perkalian satu suku dengan dua suku, perkalian dua suku dengan dua suku dua, pembagian bentuk aljabar, serta perpangkatan bentuk aljabar.

Namun, sebelum kalian mempelajari lebih jauh mengenai operasi hitung bentuk aljabar, perlu kalian ketahui mengenai tiga sifat aljabar berikut ini:

1. Sifat Komutatif
   a + b = b + a, dengan a serta b  R (bilangan riil)
2. Sifat Asosiatif
   (a + b) + c = a + (b + c) dengan a, b, serta c  R (bilangan riil)
3. Sifat Distributif
   a(b + c) = ab + ac, dengan a, b, serta c  R (bilangan riil)

Ketiga sifat di atas mempunyai peranan penting masing-masing dalam memahami konsep faktorisasi bentuk Al jabar.

Dan sebalum kalian mempeplajari tentang pemfaktoran bentuk al jabar, perlu kalian pahami pula operasi hitung bentuk Al jabar yang terdiri atas penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan juga perpangkatan yang akan dibahas di bawah ini.

Simak baik-baik ulasan berikut sampai selesai ya.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Dalam bentuk aljabar, operasi penjumlahan maupun pengurangan hanya bisa dilakukan pada suku-suku yang sejenis.

Caranya cukup dengan menjumlahkan ataupun mengurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Sebagai contoh:

Penjumlahan pada 3 buah semangka dengan 2 buah hasilnya bukan lima semangka serta bukan 5 mangga.

Hasilnya akan tetap 3 buah semangka dan dua buah mangga.

Lantas, apa hubungannya dengan penjumlahan maupun pengurangan al jabar?

Hal ini cuma pemisalan, misalkan semangka mewakili variabel x sertat nanas mewakili variabel y. Hasil penjumlahan dari 2x dan 3y bukan 5x atau 5y. Hasilnya akan tetap 2x dan 3y.

Simak penjelasan lebih lanjut mengeai penjumlahan dan pengurangan operasi bentuk al jabar di bawah ini. Akan kami berikan contoh salah yang sering dilakukan sekaligus contoh yang benar pada penjumlahan dan pengurangan operasi bentuk al jabar

Contoh Salah (kesalahan yang sering dilakukan):

8x – 5y = 3x

8y – 5y + 3x = 6y

8x – 5x +3y = 6x

Contoh Benar (hasil yang benar):

8x – 5y = 8x – 5y

8y – 5y +3x = 3y + 3x

8x – 5x + 3y = 3x + 3y

Perhatikan variabelnya baik-baik, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya berlaku pada variabel yang sama.

2. Perkalian

Perlu kalian ingat kembali jika pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian pada penjumlahan, yakni a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Dan juga sifat distributif perkalian pada pengurangan, yakni a × (b – c) = (a × b) – (a × c), untuk masing-masing bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

Berikut akan kami berikan cara mengalikan pada operasi bentuk aljabar.

Perkalian Satu Suku dengan Dua Suku

Perhatikan cara untuk mengalikan pada satu suku dengan dua suku pada gambar di bawah ini!

Contoh kesalahan yang sering dilakukan:

2(x – y) = 2xy

3x(2x – y) = 6x – 3xy

Contoh Benar (hasil yang benar):

2(x – y) = 2x – 2y

3x(2x – y) = 6x² – 3xy

Perkalian Dua Suku dengan Dua Suku

Perhatikan cara untuk mengalikan pada dua suku pada gambar di bawah ini!

Contoh kesalahan yang sering dilakukan:

Contoh Benar (hasil yang benar):

3. Perpangkatan

Cobalah kalian ingat kembali mengenai operasi perpangkatan yang ada pada bilangan bulat.

Operasi perpangkatan didefinisikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama.

Hal terseut juga berlaku dalam perpangkatan bentuk al jabar.

Pada perpangkatan bentuk al jabar suku dua, koefisien pada masing-maisng suku ditentukan menurut segitiga Pascal.

Sebagai contoh kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk al jabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.

Perhatikan gambar di bawah ini:

Dalam segitiga Pascal di atas, bilangan yang terletak di bawahnya didapatkan dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang letaknya berada di atasnya.

Contoh kesalahan yang sering dilakukan:

(x + y)² = x² + y²

(x – y)² = x² – y²

(2x)⁵ = 2x⁵

Contoh Benar (hasil yang benar):

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x – y)² = x² – y²

(2x)⁵ = 2x⁵

4. Pembagian

Hasil bagi dua pada bilangan bentuk aljabar bisa kalian dapatkan dengan cara menentukan terlebih dahulu faktor sekutu pada masing-masing bentuk al jabar tersebut.

Selanjutnya lakukan pembagian pada pembilang serta penyebutnya.

Contoh kesalahan yang sering dilakukan:

Contoh Benar (hasil yang benar):

Jangan abaikan variabelnya. Hati-hati dengan pembagian dan juga penyebut atau pembilang yang terdapat penjumlahan seperti berikut ini:

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

Nilai pada sebuah bilangan bentuk aljabar bisa kita tentukan dengan cara menyubstitusikan sembarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar itu.

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Cobalah kalian ingat kembali mengenai cara untuk menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat.

Hal tersebut juga berlaku dalam bentuk aljabar. Untuk mencari KPK dan FPB dari bentuk aljabar bisa kita lakukan dengan cara menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya.

Pecahan Bentuk Aljabar

1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Sebuah pecahan bentuk aljabar disebut paling sederhana jika pembilang dan penyebutnya tidak memiliki faktor persekutuan kecuali 1.

Serta penyebutnya tidak sama dengan nol.

Untuk menyederhanakan pecahan dalam bentuk aljabar bisa kita lakukan dengan metode membagi pembilang dan juga penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal

• Penjumlahan dan pengurangan

Pada bab sebelumnya, kita sudah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan juga pengurangan pada pecahan didapatkan dengan cara menyamakan penyebutnya.

Lalu berikutnya menjumlahkan ataupun mengurangkan pembilangnya.

Kalian juga pasti masih ingat jika untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya.

Dengan cara yang sama, hal tersebut juga berlaku dalam operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar.

Perhatikan contoh soal berikut ini:

• Perkalian dan pembagian

Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan yang ada pada perkalian bilangan pecahan.

Perhatikan contoh soal berikut ini:

• Perpangkatan pecahan bentuk aljabar

Operasi perpangkatan adalah perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan dalam bentuk aljabar.

Perhatikan contoh soal berikut ini:

Demikianlah ulasan singkat kali ini yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas  dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.