Bentuk Akar

Bentuk akar matematika merupakan akar dari suatu bilangan-bilangan yang hasilnya bukan termasuk ke dalam bilangan rasional (bilangan yang meliputi bilangan cacah, bilangan prima, serta bilangan-bilangan lain yang terkait) atau bilangan irasional (yakni bilangan yang hasil baginya tidak pernah berhenti).

Bentuk akar adalah bentuk lain untuk menyebutkan suatu bilangan yang berpangkat.

Bentuk akar termasuk ke dalam bilangan irasional di mana bilangan irasional tidak bisa disebutkan dengan menggunakan bilangan pecahan a/b, a serta b bilangan bulat a dan b ≠ 0.

Bilangan dari bentuk akar merupakan suatu bilangan yang ada di dalam tanda √ yang disebut sebagai tanda akar. 

Beberapa contoh bilangan irasional di dalam bentuk akar yakni √2, √6, √7, √11 dan lain sebagainya.

Sementara untuk √25 bukanlah bentuk akar, sebab √25 = 5  (5 merupakan bilangan rasional) sama saja angka 25 bentuk akarnya yaitu √5.

Simbol akar “√” pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan asal Jerman yang bernama Christoff Rudoff.

Di dalam bukunya dengan judul Die Coss. Simbol tersebut dipilih sebab mirip dengan huruf ” r ” yang mana diambil dari kata “radix”, yang merupakan bahasa latin bagi akar pangkat dua.

Sebagaimana bilangan berpangkat yang mempunyai beberapa sifat-sifat, bentuk dari akar pun juga mempunyai beberapa sifat, diantaranya yakni:

1. √a² = a
2. √a x b = √a x √b ; a ≥ 0 dan b ≥ 0
3. √a/b = √a/√b ; a ≥ 0 dan b ≥ 0

Selengkapnya mengenai bentuk akar, simak ulasan di bawah ini.

Bentuk Akar Matematika

Seperti yang telah disebutkan di atas, bentuk akar matematika merupakan akar dari suatu bilangan-bilangan yang hasilnya bukan termasuk ke dalam bilangan rasional. (Bilangan yang meliputi bilangan cacah, bilangan prima, serta bilangan-bilangan lain yang terkait) atau bilangan irasional (yakni bilangan yang hasil baginya tidak pernah berhenti).

Atau singkatnya, bentuk akar merupakan akar dari bilanganrasionalyang memiliki hasil bilanganirasional.

Bilangan rasional merupakan sebuah bilangan yang bisa dinyatakan ke dalam betuk a/b (pecahan). Di mana a dan b merupakan bilangan bulat dan b ≠ 0.

Sebagai contoh: bilangan 3 bisa kita nyatakan dalam bentuk 6/2, 9/3, 18/6 dan lain sebagainya.

Sementara untuk bilangan irasional merupakan sebuah bilangan yang tidak bisa diubah ke dalam bentuk pecahan a/b di mana a dan b merupakan suatu bilangan bulat.

Pengakaran  √ erat kaitannya dengan yang namanya eksponensial. Bentuk akar adalah salah satu contoh bilangan irasional, yakni bilangan yang tidak bisa dinyatakan ke dalam bentuk a/b, dengan ketentuan a dan b merupakan bilangan bulat di mana b ≠ 0.

Sebagai contohnya adalah nilai dari π = 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…, 

Hal tersebut disebabkan phi tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk pecahan maka nilai dari π termasuk ke dalam  bilangan irasional.

Berdasarkan dari definisi mengenai akar, sekarang muncul sebuah pertanyaan.

Apakah dengan adanya tanda √ dalam suatu bilangan akan menjamin bahwa bilangan itu adalah bentuk akar? Maka jawabannya tentu saja TIDAK. 

Sebab, terdapat berbagai bilangan yang dituliskan dengan tanda akar, namun hasilnya adalah bilangan rasional.

Sebagai contoh:

• √9 bukan merupakan bentuk akar, karena √9 = 3 (bilangan rasional).
• √0,25 bukan merupakan bentuk akar, karena √0,25  = 0,5 (bilangan rasional).
• √3 adalah bentuk akar.
• √5 adalah bentuk akar.

Cara Menyederhanakan Bentuk Akar Matematika

Beberapa bentuk akar bisa kita sajikan ke dalam bentuk yang lebih sederhana. Untuk masing-masing bilangan a dan b yang merupakan bilangan bulat positif, maka berlaku rumus atau persamaan seperti berikut ini:

√(a x b) = √a x √b

Dengan a atau b harus bisa dinyatakan ke dalam bentuk kuadrat murni.

Sebagai contoh:

• √108 = √36 x √3 = 6 √3
• √(1/8) = √(1/16 x 2) = √(1/16) x √2 = 1/4 √2

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Rumus operasi penjumlahan bentuk akar

a√c  + b√c = (a + b) √c

Rumus operasi pengurangan bentuk akar

a√c – b√c = (a – b) √c

2. Operasi Perkalian Bentuk Akar

Untuk masing-masing a, b dan c yang merupakan bilangan rasional positif, maka akan berlaku rumus atau persamaan seperti berikut ini:

√a x √b = √a x b

Sebagai contoh:

• √4 x √8  = √(4 x 8) = √32 = √(16 x 2) = 4 √2
• √4 (4 √4 -√2) = (√4 x 4 √4) – (√4 x √2) = (4 x √16) – √8

Rangkuman Operasi Bentuk Akar:

1. (√a + √b)² = (a + b) + 2√ab
2. (√a – √b)² = (a + b) – 2√ab
3. (√a – √b)(√a + √b) = a – b
4. (a – √b)(a + √b) = a² – b

Sifat Bentuk Akar

Adapun beberapa sifat operasi bentuk akar seperti di bawah ini:

1. √a²=a, dengan a adalah bilangan real positif.
2. √a x √b = √ab, di mana a dan b merupakan bilangan real positif.
3. √a/ √b = √a/b, dengan a ≥ 0 dan b > 0.
4. a√c + b√c = (a + b)√c dengan a, b, c merupakan bilagan real, serta c ≥ 0.
5. a√c – b√c = (a – b)√c  dengan a, b, c merupakan bilagan real, serta c ≥ 0.
6. a√c x b√d = (ab) √cd, dengan a,b, c, d, merupakan bilangan real, serta a, b ≥ 0.
7. c√a/ d√b = c/d√a/b dengan a, b, c merupakan bilangan real, serta a, b ≥ 0.

Merasionalkan Bentuk Akar

Untuk memudahkan pemakaian bentuk akar dalam operasi aljabar, maka penulisan dari bentuk akar dituliskan dalam bentuk yang paling rasional (sederhana).

Cara untuk merasionalkan bentuk akar harus memenuhi beberapa syarat-syarat tertentu. Syarat-syarat tersebut ialah sebagai berikut:

1. Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu.

Sebagai contoh:

√x, x > 0 → bentuk sederhana

√x⁵ dan √x³ → bukan bentuk sederhana

2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut.

Sebagai contoh:

√x/ x → bentuk sederhana

1/ √x → bukan bentuk sederhana

3. Tidak mengandung pecahan

Sebagai contoh:

√10/ 2 → bentuk sederhana

√5/√2 → bukan bentuk sederhana

Kemudian, bagaimana caranya untuk merasionalkan penyebut pecahan dalam bilangan bentuk akar?

Merasionalkan penyebut pecahan dalam bilangan bentuk akar itu berarti, mengubah penyebut dari pecahan yang berbentuk akar menjadi bentuk rasional (sederhana).

Cara atau metode untuk merasionalkan penyebut pecahan yakni dengan cara mengalikan pembilang dan juga penyebut pecahan tersebut dengan bentuk akar yang sekawan dari penyebut tersebut.

Terdapat tiga cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, diantaranya yaitu:

1. Pecahan bentuk a/ √b

Diselesaikan dengan cara mengalikan √b/√b

Sehingga a/ √b = a/ √b x √b/√b = a√b /b

2. Pecahan bentuk a/ b+√c

Diselesaikan dengan cara mengalikan b – √c/ b – √c

Sehingga, a/ b + √c = a/ b + √c x b – √c/ b – √c = a(b – √c)/ b² – c

3. Pecahan bentuk a/ √b + √c

Diselesaikan dengan cara mengalikan √b – √c/ √b – √c

Sehingga, a/ √b + √c = a/ √b + √c x √b – √c/ √b – √c = a(√b – √c)/ b-c

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut ini akan kami berikan beberapa contoh soal mengenai bentuk akar sekaligus pembahasannya, simak baik-baik sampai selesai ya.

Contoh Soal Bentuk Akar

Diantara bilangan-bilangan di bawah ini, manakah yang termasuk bentuk akar? Apabila termasuk bentuk akar, berikan alasannya.

Soal 1.

√7

Jawab:

 √7 adalah bentuk akar

Soal 2.

√(1/16)

Jawab: 

√(1/16) bukan merupakan bentuk akar, karena √(1/16) = ¼ (adalah bilangan rasional)

Soal 3.

3√27

Jawab:

 3√27 bukan merupakan bentuk akar, karena 3√27 = 3 (adalah bilangan rasional)

Soal 4.

√53

Jawab:

√53 adalah bentuk akar

Soal 5.

3√0,125

Jawab:

3√0,125 bukan merupakan bentuk akar, karena 3√0,125 = 0,5 (adalah bilangan rasional)

Soal 6.

5√49

Jawab:

5√49 adalah bentuk akar.

Contoh Soal Cara Menyederhanakan Bentuk Akar

Nyatakan bilangan-bilangan di bawah ini ke dalam bentuk akar yang paling sederhana!

Soal 1.

√27

Jawab:

√27 = √9 x √3 = 3 √3

Soal 2.

√99

Jawab:

√99 = √9 x √11 = 3 √11

Soal 3.

√50

Jawab:

 √50 = √25 x √2 = 5 √2

Soal 4.

√96

Jawab:

√96 = √16 x √6 = 4 √3

Soal 5.

4 √44

Jawab:

4 x √44 = 4 x √4 x √11 = 4 x 2 x √11 = 8 √11

Soal 6.

2 √500

Jawab:

2 √500 = 2 x √5 x √100= 2 x 18 x √5 = 20 √5

Contoh Soal Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Sederhanakanlah bentuk-bentuk di bawah ini:

Soal 1.

3 √7 + 5 √7 – √7

Jawab:

3 √7 + 5 √7 – √7 = (3 + 5 -1) √7 = 7 √7

Soal 2.

5 √2 – 2 √8 + 4 √18

Jawab:

=5 √2 – 2 √8 + 4 √18

= 5 √2 – 2 (√4 x √2) + 4 (√9 x √2)

= 5 √2 – 2 (2 x √2) + 4 (3 x √2)

= 5 √2 – 4 √2) + 12 √2

= (5 – 4 + 12) √2

= 13 √2

Contoh Soal Operasi Perkalian Bentuk Akar

Sederhanakanlah bentuk-bentuk di bawah ini!

Soal 1.

(√7 – √5) (√7 + √5)

Jawab:

Jika terdapat angka yang dikalikan sama, hanya berbeda operasi plus (+) serta minus (-), maka kita pakai rumus depan kali depan, belakang kali belakang, seperti berikut ini: 

(a + b) (a – b) = a2 –b2

(√7 – √5) (√7 + √5) = (√7 x √7) + (-√5 x √5)

= √49 – √25

= 7-5

=12

Soal 2.

(√3 – √2)2

Jawab:

Kita pakai rumus (a – b) (a – b) = a2 – 2ab + b2, sehingga:

(√3 – √2)2 = (√3 – √2) (√3 – √2)

= (√3 x √3) + (√3 x -√2) + (-√2 x √3) + (-√2 x -√2)

= √9 – √6 – √6 – √4

= 3 – 2 √6 + 2

= 5 -2 √6

Soal 3.

3 √3 x 5 √3 x 2 √3

Jawab:

Kita pakai rumus:

a √b x c √b x d √b = (a x c x d) (√b x √b x √b) = (a x c x d x b) √b

3 √3 x 5 √3 x 2 √3 = (3 x 5 x 2 x 3) √3 = 90 √3

Demikianlah ulasan singkat kali ini yang dapat kami sampaikan mengenai bentuk akar matematika. Semoga ulasan di atas mengenai bentuk akar matematika dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.