Irisan Kerucut

Irisan Kerucut dalam pelajaran matematika adalah suatu lokus dari seluruh titik yang membentuk kurva dua dimensi. Yang mana kurva tersebut terbentuk oleh irisan suatu kerucut dengan suatu bidang.

Ada 4 macam atau jenis dari irisan kerucut, diantaranya yaitu: lingkaran, parabola, elips serta hiperbola.

Macam Macam Irisan Kerucut

Lingkaran

Lingkaran adalah suatu tempat atau kedudukan titik-titik yang memiliki jarak yang sama pada sebuah titik tertentu.

• Titik tertentu tersebut disebut sebagai pusat lingkaran
• Jarak yang sama tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r)

Luas lingkaran = π.r² (r = jari-jari)

Contoh gambar:

Lingkaran di bawah ini memiliki pusat (0, 0) serta jari-jari 2, perhatikan gambar di bawah ini:

Parabola

Parabola adalah sautu tempat kedudukan titik-titik yang memiliki jarak yang sama pada suatu titik serta suatu garis tertentu.

• Titik tersebut disebut sebagai fokus atau titik api (F)
• Garis tertentu tersebut disebut sebagai garis direktris atau garis arah
• Garis yang melewati F serta tegak lurus dengan garis arah disebut sebagai sumbu simetri parabola
• Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut sebagai puncak parabola
• Tali busur terpendek yang melewati F disebut sebagai Latus Rectum → di mana tegak lurus dengan sumbu simetri.

Contoh gambar:

Parabola horisontal berikut dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1, perhatikan gambar di bawah ini:

Parabola vertikal di bawa ini dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1, perhatikan gambar di bawah ini:

Elips

1. Elips adalah suatu tempat atau kedudukan titik-titik di mana jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.

• Jumlah jarak tersebut adalah = 2a (bagi elips horisontal) atau 2b (bagi elips vertikal).
• Kedua titik tetap tersebut disebut sebagai fokus (F) → jarak antara F₁ serta F₂ merupakan 2c.

2.  Elips adalah suatu tempat kedudukan pada seluruh titik di mana perbandingan jaraknya pada suatu titik dan suatu garis tetap = e (eksentrisitet), di mana 0 < e < 1

• Titik tersebut disebut sebagai fokus (F), serta garis tersebut merupakan garis arah.
• Ruas garis yang melewati kedua fokus serta memotong elips disebut sebagai sumbu mayor.
• Pusat elips merupakan suatu titik tengah F₁ dan juga F₂
• Ruas garis yang melewati pusat, tegak lurus sumbu mayor serta memotong elips disebut sebagai sumbu minor.

Luas Elips = π.a.b  (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal)

Contoh gambar:

Elips horisontal di bawah dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3, 0), (–3, 0), serta garis arah x = ±25/3, perhatikan gambar di bawah ini:

Elips vertikal di bawah ini dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), fokus (0,√2), (0, –√2), dan garis arah y = ±2√2/3, perhatikan gambar di bawah ini:

Hiperbola

1.  Hiperbola adalah suatu tempat atau kedudukan dari titik-titik yang memiliki selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.

• Selisih jarak tersebut merupakan = 2a (bagi elips horisontal) atau 2b (bagi elips vertikal).
• Kedua titik tetap tersebut disebut sebagai fokus (F) → jarak antara F₁ serta F₂ merupakan 2c.

2. Hiperbola adalah suatu tempat kedudukan pada seluruh titik yang perbandingan jaraknya pada suatu titik dan suatu garis tetap = e , di mana e > 1.

• Titik-titik tertentu tesebut disebut sebagai fokus (F₁ dan F₂)
• Garis yang melewati titik-titik F₁ dan juga F₂ tesebut disebut sebagai sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
• Titik tengah F₁ serta F₂ tesebut disebut sebagai pusat hiperbola (P)
• Garis yang melewati P serta tegak lurus sumbu transvers disebut sebagai sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
• Titik-titik potong hiperbola dan juga sumbu transvers disebut sebagai puncak hiperbola
• Garis yang melewati fokus serta tegak lurus pada sumbu nyata dan juga memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut merupakan = Latus Rectum

Contoh gambar:

Hiperbola horisontal di bawah ini dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus (√6, 0), (–√6, 0), serta asimtot y = ± ½√2 x, perhatikan gambar di bawah ini:

Hiperbola vertikal di bawah ini dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0, √6), (0, –√6), serta asimtot y = ± ½√2 x, perhatikan gambar di bawah ini:

Persamaan

Berikut adalah persamaan yang ada pada irisan kerucut, simak baik-baik ya..

Perhatikan beberapa Tips berikut ini untuk mempermudah pemahaman dari persamaan di atas.

Cara untuk membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut di atas yaitu:

• Dalam persamaan Lingkaran: koefisien x² dan juga y² sama
• Dalam persamaan Parabola: hanya salah satu yang berbentuk kuadrat (x² saja ataupun y² saja)
• Dalam persamaan Elips: koefisien x² serta y² bertanda sama (sama-sama positif maupun sama-sama negatif)
• Dalam persamaan Hiperbola: koefisien x² dan juga y² berbeda tanda (salah satu positif, yang lainnya negatif)

Sebagai contoh:

• 3x² + 3y² + 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran
• 3x² + 3y + 6x = 5 → Persamaan Parabola
• 3x² + y² + 6x + y = 5 → Persamaan Elips
• 3x² – 3y² + 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola

Kedudukan Titik terhadap Irisan Kerucut

Dalam menentukan ataupun mencari kedudukan titik pada irisan kerucut, kita bisa memakai beberapa cara seperti berikut ini:

1. Menjadikan atau ubah ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0
2. Masukkan koordinat titik pada persamaan di bawah ini:
   • Apabila hasil ruas kiri < 0 → titik terletak di dalam irisan kerucut.
   • Apabila hasil ruas kiri = 0 → titik terletak tepat pada irisan kerucut tersebut.
   • Apabila hasil ruas kanan > 0 → titik terletak di luar irisan kerucut.

Sebagai contoh:

Carilah kedudukan dari titik (5, –1) pada elips dengan persamaan berikut: 3x² + y² + 6x + y = 5?

Jawab:

3x² + y² + 6x + y – 5 = 0

Ruas kiri:
3.5² + (–1)² + 6.5 + (–1) – 5  = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100

→ 100 > 0, sehingga diketahi titik (5, –1) terletak di luar elips tersebut.

Kedudukan Garis terhadap Irisan Kerucut

Dalam mencari atau menentukan kedudukan garis pada irisan kerucut, kita bisa menggunakan beberapa cara seperti yang ada di bawah ini:

1. Persamaan garis kita jadikan persamaan x = … ataupun y = …
2. Substitusikan persamaan garis tersebut ke dalam persamaan irisan kerucut, sehingga akan menghasilkan sebuah persamaan kuadrat.
3. Mencari nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut (Ingat! D = b² – 4.a.c)
   • Apabila D < 0 → garis terletak pada luar irisan kerucut.
   • Apabila D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut pada 1 titik.
   • Apabila D > 0 → garis memotong irisan kerucut pada 2 titik.

Sebagai contoh:

Carilah kedudukan garis x + 2y = 4 pada parabola dengan persamaan berikut: 3x² + 3y + 6x = 5.

Jawab:

Garis: x = 4 – 2y

3(4 – 2y)² + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0
3(16 – 16y + 4y²) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
48 – 48y + 12y² + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
12y² – 57y + 67 = 0

D = b² – 4.a.c = (–57)² – 4.12.67 = 33

Sebab D > 0 sehingga garis x + 2y = 4 akan memotong parabola tersebut.

Persamaan Garis Singgung

dalam hal ini m berkedudukan sebagai gradien.

Persamaan garis singgung pada titik (x₁, y₁)

Dalam menyelesaikan atau mencari persamaan garis singgung ini selalu memakai sistem bagi adil, yang mana;

(…)² menjadi (…).(…)

(…) menjadi ½ (…) + ½ (…)

Dalam salah satu (…) titik ke persamaan hasil bagi adil akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui, berikut penjelasannya:

1. Apabila titik berada pada irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis singgung.
2. Apabila titik berada pada luar irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis polar.

Berikutnya potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk memperoleh 2 titik potong.

Baru kemudian memasukan kedua titik potong tersebut ke dalam persamaan hasil bagi adil untuk memperoleh 2 buah persamaan garis singgung.

Untuk mempermudah uraian di atas, perhatikan contoh soal berikut ini:

Contoh soal:

Soal 1.

Carilah persamaan garis singgung di lingkaran x² + y² + 4x = 13 pada titik (2, 1)!

Jawab:

(2, 1) berada pada lingkaran (2² + 1² + 4.2 = 13)

Persamaan bagi adil:

x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9

Masukkanlah (2, 1) sebagai x₁ dan y₁:

2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9

4x + y – 5 = 0 → merupakan persamaan garis singgung.

Soal 5.

Suatu parabola mempunyai puncak (0, 0) serta memiliki koordinat fokus (0,2). Persamaan parabola tersebut ialah ….

Jawab:

Sebab koordinat fokus berada di atas puncak maka parabola membuka ke atas, sehingga bentuk umumnya ialah x² = 4py.

koordinat fokus (0, p) dengan p = 2, sehingga persamaannya akan menjadi:

x² = 8y

Soal 6.

Parabola mempunyai persamaan direktris x = 7 dan mempuyai puncak (0, 0). Persamaan parabola yaitu …

Jawab:

Sebab direktris yang berada di sebelah kanan puncak maka parabola membuka ke kiri, sehingga bentuk umum persamaannya ialah y² = -4px.

Persamaan direktris x = p dengan p = 7 sehingga persamaan parabola menjadi:

y² = -28x

Demikianlah ulasan singkat terkait Irisan Kerucut yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.