Logaritma

Logaritma merupakan suatu operasi matematika di mana operasi ini merupakan operasi dari kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan. Basis atau pokok dalam rumus logaritma ini pada umumnya berupa huruf a.

Atau ada juga yang menyebutkan jika logaritma ini merupakan sebuah invers atau kebalikan dari pemangkatan (eksponen) yang dipakai dalam menentukan besar pangkat dari sebuah bilangan pokok.

Dalam bahasa inggris, logaritma disebut sebagai logarithm.

Sehingga pada intinya, dengan kita mempelajari logaritma, maka kita dapat mencari besar pangkat dari sebuah bilangan yang diketahui hasil pangkatnya.

Logaritma

Setelah kalian mengetahui apa itu logarithm, maka kalian juga wajib untuk mengetahui bentuk umum dari logaritma ini.

Berikut adalah bentuk umum dari logaritma:

Bentuk umum logaritma:

Jika aⁿ = x maka ^alog x = n

Keterangan:

a: merupakan pokok (basis), di mana memiliki syarat: a > 0 dan a ≠ 1.

x: merupakan bilangan yang dicari nilai algoritmanya (numerus), syaratnya: x > 1

n: merupakan besar pangkat/ nilai logarithm.

Kini saatnya kalian simak contoh soal di bawah ini supaya kalian lebih memahami uraian di atas:

1. Apabila 3² = 9, maka dalam bentuk logaritma akan berubah menjadi ³log 9 = 2
2. Apabila 2³ = 8, maka dalam bentuk logaritma akan berubah menjadi ²log 8 = 3
3. Apabila 5³ = 125, maka dalam bentuk logaritma akan berubah menjadi ⁵log 125 = 3

Gimana? Sekarang sudah mulai paham kan?

Nah, biasanya nih, kalian juga akan masih sering mengalami kebingungan dalam menentukan mana angka yang menjadi basis serta mana angka yang menjadi numerus.

Logaritma merupakan operasi matematika yang di mana adalah kebalikan/invers dari eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar dari logaritma: b^c = a ditulis sebagai ^blog a = c (b disebut sebagai basis logaritma).

Iya nggak?

Tenang guys, kunci yang harus kalian ingat saja yakni jika bilangan pokok itu merupakan basis, letaknya berada di atas sebelum tanda ‘log’. Serta bilangan hasil pangkat itu disebut sebagai numerus, letaknya berada di bawah sesudah kata ‘log’. Gampang kan?

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan sebuah persamaan di mana peubahnya merupakan bilangan pokok logaritma.

logarithm ini juga bisa didefiniskan sebagai operasi matematika yang di mana adalah kebalikan (atau invers) dari eksponen atau sebuah pemangkatan.

Contoh Bilangan 

Berikut akan kami berikan beberapa contoh dari bilangan logaritma, diantaranya adalah sebagai berikut:

Berikutnya, logaritma juga mempunya beberapa sifat-sifat yang wajib untuk kalian pahami, nih. Kenapa wajib?

Hal tersebut disebabkan sifat-sifat inilah yang nantinya akan menjadi bekal kalian dalam mengerjakan soal-soal logaritma dengan mudah.

Tanpa memahami sifat-sifat logarithm, maka kalian tidak akan bisa mengerjakan soal-soal logaritma, lho!

Lantas, apa saja sih sifat-sifat dari logaritma itu? Yuk, perhatikan ulasan di bawah ini.

Sifat Sifat Logaritma

Berikut ini adalah beberapa sifat dari logaritma yang wajib untuk kalian pahami, antara lain:

Selain beberapa sifat di atas, ada juga beberapa sifat persamaan logaritma, diantaranya yaitu:

Sifat Sifat Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma juga memiliki beberapa sifat – sifat khusus, sifat – sifat tersebut diantaranya ialah sebagai berikut:

1. Sifat Logaritma dari Perkalian 

Sifat logaritma dari perkalian merupakan sebuah hasil dari penjumlahan dari dua logarithm lain di maka nilai kedua numerusnya merupakan faktor dari nilai numerus awal.

^alog p. q = ^alog p + ^alog q

Adapun beberapa syarat untuk sifat satu ini, yakni: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

2. Perkalian Logaritma

Perkalian logaritma merupakan sebuah sifat logarithm a yang bisa dikalikan dengan logarithm b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b.

Hasil dari perkalian tersebut merupakan logarithm baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logarithm a. Serta memiliki nilai numerus yang sama dengan logarithm b.

^alog b x ^blog c = ^alog c

Adapun beberapa syarat untuk sifat satu ini, yakni: a > 0, a \ne 1.

3. Sifat dari Pembagian 

Sifat logaritma dari pembagian adalah hasil dari pengurangan dua logaritma lain di mana nilai dari kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logarithm awal.

^alog p/q : ^alog p – ^alog q

Adapun beberapa syarat untuk sifat satu ini, yakni: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

4. Sifat Berbanding Terbalik

Sifat logaritma berbanding terbalik merupakan sebuah sifat dengan logarithm lain yang mempunyai nilai bilangan pokok serta numerus-nya saling bertukaran.

^alog b = 1/^blog a

Adapun beberapa syarat untuk sifat satu ini, yakni: a > 0, a \ne 1.

5. Berlawanan Tanda 

Sifat logaritma berlawanan tanda merupakan sebuah sifat dengan logaritma yang mempunyai numerus-nya yakni adalah pecahan terbalik dari nilai numerus logarithm awal.

^alog p/q = – ^alog p/q

Adapun beberapa syarat untuk sifat satu ini, yakni: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

6. Sifat dari Perpangkatan 

Sifat logaritma dari perpangkatan merupakan sebuah sifat dengan nilai numerus-nya adalah sebuah eksponen (pangkat). Serta bisa dijadikan sebagai logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali.

^alog b^p = p. ^alog b

Adapun beberapa syarat untuk sifat satu ini, yakni: a > 0, a \ne 1, b > 0

7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma 

Sifat perpangkatan bilangan pokok logaritma merupakan sebuah sifat di mana nilai bilangan pokoknya adalah sebuah eksponen (pangkat) yang bisa dijadikan sebagai logarithm baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi.

a^plog b = 1/p^alog b

Adapun beberapa syarat untuk sifat satu ini, yakni: a > 0, a \ne 1.

8. Bilangan Pokok Logaritma Sebanding dengan Perpangkatan Numerus 

Sifat bilangan pokok sebanding dengan perpangkatan numerus merupakan suatu sifat dengan nilai numerus-nya adalah sebuah eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya yang memiliki nilai hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut.

^alog a^p = p

Adapun beberapa syarat untuk sifat satu ini, yakni: a > 0 dan a \ne 1.

9. Perpangkatan 

Sifat perpangkatan logaritma adalah salah satu sifat bilangan yang mempunyai pangkat berbentuk logaritma. Hasil dari nilai pangkatnya merupakan nilai di mana numerusnya berasal dari logaritma tersebut.

a ^alog m = m

Adapun beberapa syarat untuk sifat satu ini, yakni: a > 0, a \ne 1, m > 0.

10. Mengubah Basis Logaritma 

Sifat mengubah basis logaritma ini juga bisa kita pecah menjadi perbandingan dua logaritma.

^plog q = ^alog p/^a log q

Adapun beberapa syarat untuk sifat satu ini, yakni: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

Rumus Persamaan Logaritma

Berdasarkan dari uraian di atas, logaritma merupakan operasi matematika yang di mana adalah suatu invers (kebalikan) dari eksponen atau pemangkatan.

Contoh dari logaritma bentuk eksponen antara lian: a^b = c jika dinyatakan dengan notasi logaritma maka akan menjadi ^alog c = b.

Dengan keterangannya ialah sebagai berikut :

• a merupakan basis atau bilangan pokok.
• b merupakan hasil atau range logaritma.
• c merupakan numerus atau domain logaritma.

Dengan catatan:

Perlu untuk kalian pahami, sebelum kita membahas lebih lanjut mengenai rumus dari logaritma, jika terdapat penulisan ^alog b artinya sama dengan log_a b.

Rumusnya dari persamaan logaritma antara lain yaitu:

Rumus persamaan logaritma:

Jika kita memiliki ^alog f(x) = ^alog g(x), maka f(x) = g(x) .
Dengan beberapa syarat seperti: a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0, g(x) > 0 .

Pertidaksamaan logaritma:

Jika kita memiliki log f(x) > ^alog g(x) maka kita memiliki dua keadaan, yaitu:

Pertama, pada waktu a>0 maka berarti: f(x) > g(x)
Kedua, pada waktu 0<a<1 ( a diantara 0 serta 1 contohnya 1/2, 1/4 , dst) maka berarti f(x) < g(x) .

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut ini akan kami berikan beberapa contoh soal sekaligus pembahasannya. Simak baik-baik ya.

Contoh Soal 1-3

1. ²log 4 + ²log 8 =

2. ²log 32 =

3. Apabila diketahui ²log 8 = m dan ²log 7 = n, maka carilah nilai dari ¹⁶log 14!

Jawab:

Soal 1.

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mengecek basisnya.

Kedua persamaan dari logaritma di atas, ternyata mempunyai nilai basis yang sama, yakni 2.

Oleh karena itu, kita dapat memakai sifat logaritma yang kedua untuk mencari hasilnya.

Sehingga, ²log 4 + ²log 8 = ²log (4 × 8) = ²log 32 = 5. Ingat! tujuan dari logaritma yaitu mencari pangkat.

Sehingga, 2 pangkat berapa yang hasilnya 32? Jawabannya tak lain ialah 5. Mudah bukan?

Soal 2.

Kita lanjut ke pembahasan soal nomor 2.

Pada soal nomor 2 ini kita tidak dapat langsung mengerjakannya, sebab kalian pasti akan mengalami kebingungan dalam mencari nilai pangkat dari 8 yang hasilnya 32. Lantas bagaimana caranya?

Jika kita perhatikan soalnya dengan lebih teliti, 8 itu adalah hasil pemangkatan dari 2³ dan juga 32 yang merupakan hasil pemangkatan dari 2⁵.

Maka dari itu, bentuk logaritmanya dapat kita ubah menjadi:

⁸log 32 = ²³log 2

= 5/3 ²log 2 (gunakan sifat nomor 6)

= 5/3(1) = 5/3

Soal 3.

Bagimana guys? sudah mulai greget belum?

Nah, pada pembahasan soal nomor 3 ini akan membuat kalian semakin gregetan lagi!

Perlu kalian ketahui jika model dari soal nomor 3 akan sering kalian jumpai dalam soal-soal Ujian Nasional ataupun soal-soal seleksi Perguruan Tinggi lho.

Sekilas memang tampak cukup rumit ya, namun apabila kalian sudah paham konsepnya, soal ini akan jadi sangat mudah untuk dikerjakan.

Apabila kalian menjumpai model soal seperti ini, kalian dapat mencari nilainya dengan memakai sifat logaritma nomor 4.

Sehingga, pengerjaannya akan menjadi:

²log 8 = m dan ²log 7 = n, ¹⁶log 14?

¹⁶log 14 = ²log 14/ ²log 16

Catatan:

Untuk memilih mana basis, kita dapat melihat langsung ke angka yang paling sering muncul di dalam soal. Sehinnga kita ketahui angka 2 muncul sebanyak 2 kali, 8 sebanyak 1 kali, serta 7 sebanyak 1 kali.

Angka yang paling banyak muncul tak lain adalah 2, sehingga kita pilih 2 sebagai basis. Paham kan?

= ²log (7 x 2)/ ²log (8 x 2)

Kemudian, kita uraikan numerusnya.

Upayakan kita ubah ke dalam bentuk yang telah ada di dalam soal. Maksudnya gimana?

Begini guys, pada soal diketahui ²log 8 dan juga ²log 7. Sebab numerusnya 8 dan juga 7, maka kita uraikan 14 menjadi 7 × 2 serta 16 menjadi 8 × 2 supaya kita dapat mengetahui hasil akhirnya.

= ²log 7 + ²log 2/ ²log 8 + ²log 2 (pakai sifat nomor 2)

= n + 1/ m + 1

Contoh soal lainnya.

Soal 1.(EBTANAS ’98)

Diketahui ³log 5 = x dan ³log 7 = y. Hitunglah nilai dari ³log 245 ^1/2 !           (EBTANAS ’98)

Jawab:

³log 245 ^½ = ³log (5 x 49) ^½

³log 245 ^½ = ³log ((5) ^½ x (49) ^½)

³log 245 ^½ = ³log (5) ^½ + ³log (7²) ^½

³log 245 ^½ =  ½( ³log 5 + ³log 7)

³log 245 ^½ = ½(x + y)

Sehingga, nilai dari ³log 245 ^½ yaitu ½(x + y).

Soal 2. (UMPTN ’97)

Apabila b = a⁴, nilai a serta b positif, maka nilai ^alog b – ^blog a yaitu…?

Jawab:

Diketahui jika b = a⁴, maka bisa kita subsitusikan ke dalam perhitungan menjadi:

^alog b – ^blog a = ^alog a⁴  – a⁴ log a

^alog b – ^blog a = 4 (^alog a) – 1/4( ^alog a)

^alog b – ^blog a = 4 – 1/4

^alog b – ^blog a = 3^3/4

Sehingga, nilai dari ^alog b – ^blog a pada soal nomor 2 yaitu 3^3/4.

Soal 3. (UMPTN ’97)

Apabila ^alog (1- ³log 1/27) = 2, maka hitunglah nilai a.

Jawab:

Apabila kita bikin nilai 2 menjadi suatu logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya ialah a menjadi ^alog a²= 2, maka akan kita peroleh:

^alog (1- ³log 1/27) = 2

^alog (1- ³log 1/27) = ^alog a²

Nilai numerus kedua logaritma tersebut dapat menjadi sebuah persamaan, yaitu:

1- ³log 1/27 = a²

³log 3 – ³log 1/27 = a²

³log 3 – ³log 3^(-3) = a²

³log 3/3^-3 = a²

³log 3⁴ = a²

4 = a²

Sehingga kita dapatkan nilai a = 2.

Soal 4.

Apabila Diketahui 2log 8 = a dan 2log 4 = b. Maka hitunglah nilai dari 6log 14

a. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a+1) / (b+2)
d. (1 +a) / (1+b)

Jawab:

Untuk 2 log 8 = a

=  (log 8 / log 2) = a
=  log 8 = a log 2

Untuk 2 log 4 = b

=  (log 4 / log 2) = b
=  log 4 = b log 2

Sehingga ,16 log 8 = (log 16) / (log68)
=  (log 2.8) / (log 2.4)
=  (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
=  (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)
=  log2 (1+ a) / log 2( 1+ b)
=  (1+a) / (1+ b)

Sehingga, nilai dari 6 log 14 pada contoh soal di atas yaitu (1+a) / (1+b). (D)

Soal 5.

Nilai dari (3log 5 – 3 log 15 + 3log 9) yaitu?

a. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Jawab:

(3log 5 – 3log 15 + 3log 9
= 3log ( 5 . 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

Sehingga, nilai dari 3log 5 – 3log 15 + 3log 9 yaitu 1. (B)

Soal 6.

Hitunglah nilai dalam soal logaritma di bawah ini:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Jawab:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 pangkat 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Sehingga, nilai dari masing masing soal logaritma di atas yaitu 5 dan 4.

Soal 7.

Hitunglah nilai dalam soal logaritma di bawah ini:

1. 2log 5 x 5log 64
2. 2 log 25 x 5log 3 x 3log 32

Jawab:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) =(2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2 . (2log 5) x (5log 3) x 5 . (3log 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

Sehingga, nilai dari soal di atas yaitu 6 dan 10.

Soal 8.

Hitunglah nilai dari  log 25 + log 5 + log 80 adalah …

Jawab:

log 25 + log 5 + log 80
= log (25 x 5 x 80)
= log 10000
= log 104
= 4

Soal 9.

Diketahui log 3 = 0,332 serta log 2 = 0,225. Maka log 18 dari soal tersebut yaitu ….

a. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Jawab:

Diketetahui:

• Log 3 = 0,332
• Log 2 = 0,225

Ditanya:

• log 18 = ….?

Jawab:

Log 18 = log 9 . log 2
Log 18 = (log 3.log 3) . log 2
Log 18 = 2 . (0,332)  + (0,225)
Log 18 = 0,664 + 0,225
Log 18 = 0,889

Sehingga, nilai log 18 pada soal di atas yaitu 0,889. (A)

Soal 10.

Ubahlah bentuk pangkat di bawah ini ke dalam bentuk logaritma:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Jawab:

*Transformasikanlah bentuk pangkat tersebut ke dalam bentuk logaritma seperti berikut ini:

Apabila nilai ba = c, maka nilai untuk blog c = a.

1.  24 = 16 → 2log 16      = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2log 48     = 7

Demikianlah ulasan singkat kali ini yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.