Persamaan Kuadrat

Dalam pelajaran matematika, Persamaan kuadrat merupakan sebuah persamaan dari variabel yang memiliki pangkat tertinggi dua.

Atau juga ada yang mengatakan jika persamaan kuadrat ini adalah persamaan polinomial (suku banyak) yang mempunyai orde (pangkat) dua.

Lantas, bagaimana bentuk serta cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini? Simak uraian selengkapnya di bawah ini ya.

Persamaan kuadarat sering juga disebut sebagai persamaan parabola. Sebab, apabila bentuk persamaan kuadrat digambarkan ke dalam gambar koordinat xy maka akan membentuk grafik parabolik.

Persamaan kuadrat dalam x bisa kita tuliskan ke dalam bentuk umum seperti berikut:

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

y = ax² + bx + c

Dengan a, b, c ∈ R serta a ≠ 0

Keterangan:

• x merupakan variabel.
• a merupakan koefisien kuadrat dari x²
• b merupakan koefisien liner dari x.
• c merupakan konstanta.

Penyelesaian atau pemecahan dari suatu persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Sedangkan, untuk pengertian dari kuadrat itu sendiri merupakan akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam kata lain, bilangan r yang jika kita kuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) nilainya akan sama dengan x.

Persamaan Kuadrat

Dari uraian di atas, maka dapat kita ketehui bahwa nilai koefisen a, b, dan c yang menentukan bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam koorinat xy.

Persamaan kuadrat merupakan sebuah persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya yaitu 2.
Bentuk umum dari persamaan kuadrat ditulis:
ax² + bx + c = 0, a≠0 dan a,b,c elemen R

Keterangan:

x adalah variabel dari persamaan kuadrat

a adalah koefisien x²

b adalah koefisien x

c adalah konstanta

Berikut ulasan selengkapnya.

• Koefisien a mencari cekung atau cembungnya kurva parabola.

Apabila nilai a>0 parabola akan terbuka ke atas, apabila a<0 parabola akan terbuka ke bawah. Perhatikan gambar di bawah ini:

• Koefisien b mencari posisi x puncak parabola

Koefisen b dalam menentukan posisi x sebagai puncak parabla atau sumbu simetri dari kurva yang terbentuk senilai x = –b/2a. Perhatikan gambar di bawah ini:

• Koefisien c mencari titik potong fungsi parabola dengan sumbu y

Perhatikan gambar di bawah ini:

Macam – macam Akar Persamaan Kuadrat

Untuk mengetahui berbagai macam dari akar persamaan kuadrat, kita juga bisa mengetahuinya dengan memakai rumus D = b2 – 4ac.

Apabila terbentuk nilai D maka kita akan dengan mudah dapat menemukan berbagai akarnya.

Berikut ini adalah beberapa jenis dari persamaan kuadrat secara umum, antara lain:

1. Akar Real ( D ≥ 0 ) :

»Akar real berlainan jika diketahui= D > 0

Sebagai contoh:

Tentukan jenis akar dari persamaan di bawah ini:

• x2 + 4x + 2 = 0 !

Jawab:

Dari persamaan = x2 + 4x + 2 = 0, maka dapat kita ketahui:

Diketahui :

• a = 1
• b = 4
• c = 2

Penyelesaian:

• D = b2 – 4ac
• D = 42 – 4(1)(2)
• D = 16 – 8
• D = 8 ( D>8, maka akarnya pun adalah akar real namun berbeda )

»Akar real sama x1 = x2 jika diketahui D = 0

Sebagai contoh:

Buktikan jika persamaan di bawah ini mempunyai akar real kembar:

• 2×2 + 4x + 2 = 0

Jawab:

Dari persamaan tersebut yaitu: = 2×2 + 4x + 2 = 0, maka

Diketahui:

• a = 2
• b = 4
• c = 2

Penyelesaian:

• D = b2 – 4ac
• D = 42 – 4(2)(2)
• D = 16 – 16
• D = 0 ( D=0, terbukti jika akar real dan kembar )

2. Akar Imajiner/ Tidak Real ( D < 0 )

Sebagai contoh:

Tentukanlah jenis akar dari persamaan di bawah ini:

• x2 + 2x + 4 = 0 !

Jawab:

Dari persamaan tersebut yakni: = x2 + 2x + 4 = 0, maka

Diketahui:

• a = 1
• b = 2
• c = 4

Penyelesaian:

• D = b2 – 4ac
• D = 22 – 4(1)(4)
• D = 4 – 16
• D = -12 ( D<0, sehingga akar-akarnya merupakan akar tidak real )

3. Akar Rasional ( D = k² )

Sebagai contoh:

Tentukan jenis akar dari persamaan di bawah ini:

•  x² + 4x + 3 = 0

Jawab:

Dari persamaan tersebut yakni: =  x² + 4x + 3 = 0, maka

Diketahui:

• a = 1
• b = 4
• c = 3

Penyelesaian:

• D = b² – 4ac
• D = 4² – 4(1)(3)
• D = 16 – 12
• D = 4 = 2² = k²   ( Sebab D=k²=4, sehingga akar persamaannya merupakan akar rasional )

Sifat – Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat juga memiliki beberapa jenis, berikut adalah beberapa jenis dan juga sifatnya, selengkapnya simak ulasan di bawah ini:

Akar – akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh adanya nilai diskriminan (D = b² – 4ac) di mana hal itu yang membedakan jenis akar – akar persamaan kuadrat menjadi 3, diantaranya yaitu:

1. Apabila D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.

• • Apabila D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya merupakan rasional.
  • Apabila D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya merupakan irasional.

2. Apabila D = 0, maka persamaan kuadratnya memiliki dua akar yang sama (akar kembar), real, dan juga rasional.
3. Apabila D < O, maka persamaan kuadratnya tidak memiliki akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner).

Bentuk dari perluasan untuk akar – akar real, antara lain:

1. Kedua Akar Positif

Kedua akarnya positif apabila:

• D ≥ 0

x₁ + x₂ > 0

x₁ x₂ > 0

2. Kedua Akar Negatif

Kedua akarnya negatif apabila:

• D ≥ 0

x₁ + x₂ < 0

x₁ x₂ > 0

3. Kedua Akar Berlainan Tanda

Kedua akar berlainan tanda apabila:

• D > 0

x₁ x₂ < 0

4. Kedua Akar Bertanda Sama

Kedua akar bertanda sama apabila:

• D ≥ 0

x₁ x₂ > 0

5. Kedua Akar Saling Berlawanan

Kedua akar saling berlawanan apabila:

• D > 0

x₁ + x₂ = 0 (b = 0)

x₁ x₂ < 0

6. Kedua Akar Saling Berkebalikan

Kedua akar saling berkebalikan apabila:

• D > 0

x₁ + x₂ = 1 (c = a)

Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat 

Terdapat tiga cara atau metode dalam mencari akar-akar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Antara lain yakni dengan cara: faktorisasi, kuadrat sempurna serta dengan memakai rumus abc.

Berikut penjelasan untuk masing-masing cara mencari akar-akar persamaan kuadrat.

1. Faktorisasi

Faktorisasi atau pemfaktoran adalah suat metode atau cara dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan mencari nilai yang apabila dikalikan akan menghasilkan nilai lain.

Terdapat tiga bentuk persamaan kuadrat dengan faktorisasi akar-akar yang berbeda, diantaranya yaitu:

Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan contoh soal di bawah ini:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan metode faktorisasi 5x²+13x+6=0!

Jawab:

5x² + 13x = 6 = 0

5x² + 10x + 3x + 6 = 0

5x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

(5x + 3)(x + 2) = 0

5x = -3

x = -3/5, atau x = -2

Sehingga, himpunan penyelesaian HP = (-3/5, -2)

2. Kuadrat Sempurna

Tidak seluruh persamaan kuadrat dapat dicari nilainya dengan menggunakan cara faktorisasi.

Terdapat metode atau cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Bentuk persamaan kuadrat sempurna merupakan bentuk persamaan di mana akan menghasilkan bilangan rasional.

Penyelesaian dari persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat pada umumnya memakai rumus seperti berikut:

(x+p)² = x² + 2px + p²

Kemudian ubah menjadi bentuk persamaan di dalam (x+p)² = q

Penyelesaian:

(x+p)² = q

x+p = ± q

x = -p ± q

Untuk lebih memahami uraian di atas mengenai bentuk kuadrat sempurna, perhatikan contoh soal di bawah ini:

x² + 6x + 5 = 0

Jawab:

x² + 6x +5 = 0

Ubah menjadi x² + 6x = -5

Tambahkan satu angka di ruas kiri dan juga ruas kanan supaya berubah menjadi kuadrat sempurna.

Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien yang berasal dari nilai x atau separuhnya 6 yang dikuadratkan yaitu 3²=9.

Lalu, tambahkan angka 9 di ruas kiri dan juga ruas kanan, sehingga persamaannya akan berubah menjadi:

x² + 6x + 9 = -5 + 9

x² + 6x + 9 = 4

(x+3)² = 4

(x+3) = √4

x = 3 ± 2

• Untuk x+3 = 2

x = 2-3

x = -1

• Untuk x+3 = -2

x = -2-3

x = -5

Sehingga nilai hasil akhirnya adalah, x= -1 atau x = -5

3. Rumus Kuadrat atau Rumus ABC

Selain dengan memakai cara faktorisasi serta dengan melengkapi kuadrat sempurna, persamaan kuadrat juga bisa diselesaikan dengan memakai rumus kuadrat atau biasa juga dikenal dengan sebutan rumus abc.

Rumus atau Formula

Nilai akar-akar persamaan kuadrat ax +bx + c = 0 diselesaikan dengan menggunakan rumus abc seperti berikut:

Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan contoh soal di bawah ini:

x² + 4x – 12 = 0

Jawab:

x² + 4x – 12 = 0

a=1, b=4, c=-12

Menyusun persamaan kuadrat baru

Menyusun persamaan jika telah diketahui akar-akarnya

Apabila sebuah persamaan kuadrat mempunyai akar-akar x₁ serta x₂ maka persamaan kuadratnya bisa dinyatakan ke dalam bentuk:

(x- x₁)(x- x₂)=0

Sebagai contoh:

Tentukan persamaan kuadrat di mana akar akarnya yaitu -2 dan 3.

Jawab:

x₁ =-2 dan x₂=3
(x-(-2))(x-3)=0
(x+2)(x+3)
x²-3x+2x-6=0
x²-x-6=0

Menyusun persamaan kuadrat jika telah diketahui jumlah serta hasil kali akar-akarnya.

Apabila telah diketahui sebuah persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar x₁dan x₂ serta diketahui (x₁₊ x₂) dan (x_1.x₂) maka persamaan kuadratnya bisa dibentuk menjedi seperti berikut:

x²-( x₁₊ x₂)x+(x_1.x₂)=0

Sebagai contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan juga -1/2!

Jawab:

x₁=3 dan x₂= -1/2

x₁₊ x₂=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2

x_1.x₂ = 3 (-1/2) = -3/2

Sehingga, persamaan kuadratnya yaitu:

x²-( x₁₊ x₂)x+(x_1.x₂)=0

x²– 5/2 x – 3/2=0 (masing-masing ruas dikali 2)

2x²-5x-3=0

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Apabila bentuk umum dari persamaan x² – 4 = 3(x – 2) merupakan ax² + bx + c = 0, maka nilai a, b, dan c berturut-turut adalah ….
A. 1, -3, 2
B. 1, -2, 3
C. 1, 3, -2
D. 1, -3, -10

Jawab:

Untuk menentukan nilai a, b, dan c maka kita harus merubah bentuk soal menjadi bentuk umum terlebih dahulu.

Caranya:

⇒ x² – 4 = 3(x – 2)
⇒ x² – 4 = 3x – 6
⇒ x² – 4 – 3x + 6 = 0
⇒ x² – 3x + 2 = 0
⇒ a = 1, b = -3, dan c = 2

Jawaban: A

Soal 2. Akar Persamaan Kuadrat

Apabila salah satau akar dari persamaan kuadrat x² – 4x + c = 0 yaitu 2, maka nilai c yang memenuhi persamaan itu yakni ….

A. c = 2
B. c = 4
C. c = -4
D. c = -6

Jawab:

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 2 ke persamaannya, sehingga:

⇒ x² – 4x + c = 0
⇒ 2² – 4(2) + c = 0
⇒ 4 – 8 + c = 0
⇒ -4 + c = 0
⇒ c = 4

Jawaban: B

Soal 3. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat

Apabila salah satu akar dari persamaan kuadrat x² + 2x + c = 0 yaitu 3, maka akar lainnya ialah ….

A. x = 5
B. x = 3
C. x = -5
D. x = -15

Jawab:

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 3 untuk mengetahui nilai c:

⇒ x² + 2x + c = 0
⇒ 3² + 2(3) + c = 0
⇒ 9 + 6 + c = 0
⇒ 15 + c = 0
⇒ c = -15

Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai c sehingga persamaanya menjadi:

⇒ x² + 2x + c = 0
⇒ x² + 2x – 15 = 0

Kemudia menentukan nilai akarnya dengan pemfaktoran:

⇒ (x + 5)(x – 3) = 0
⇒ x = -5 atau x = 3

Jawaban: C

Soal 4. Himpunan Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Himpunan penyelesaian dari persamaan: x² + 5x + 6 = 0 yaitu …

A. {-2, -3}
B. {-2, 3}
C. {-3, 2}
D. {3, 4}

Jawab:

Dengan menggunakan cara pemfaktoran, maka:

⇒ x² + 5x + 6 = 0
⇒ (x + 2)(x + 3) = 0
⇒ x = -2 atau x = -3
⇒ HP = {-2, -3}

Jawaban: A

Soal 5. Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat

Apabila akar-akar persamaan x² – 3x – 10 = 0 ialah x₁ dan x₂, maka hasil dari x₁ + x₂ sama dengan …

A. x₁ + x₂ = 3
B. x₁ + x₂ = 4
C. x₁ + x₂ = 5
D. x₁ + x₂ = 7

Jawab:

Dengan menggunakan cara pemfaktoran, maka:

⇒ x² – 3x – 10 = 0
⇒ (x + 2)(x – 5) = 0
⇒ x₁ = -2 atau  x₂ = 5

Jumlah akar-akarnya yaitu:

⇒ x₁ + x₂ = -2 + 5
⇒ x₁ + x₂ = 3

Dengan menggunakan metode cepat, yaitu:

Dari x² – 3x – 10 = 0
Dik : a = 1, b = -3, c = -10

Jumlah akarnya yaitu:

⇒ x₁ + x₂ = -b/a
⇒ x₁ + x₂ = -(-3)/1
⇒ x₁ + x₂ = 3

Jawaban: A

Soal 6. Menentukan Akar Lainnya dari Persamaan Kuadrat

Salah satu akar dari persamaan 3x² – 2x + c = 0 ialah 2, akar lainnya yaitu ….

A. -4/5
B. -4/3
C. 3/4
D. 4/3

Jawab:

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 2 ke persamaan:

⇒ 3x² – 2x + c = 0
⇒ 3(2)² – 2(2) + c = 0
⇒ 3.4 – 4 + c = 0
⇒ 12 – 4 + c = 0
⇒ 8 + c = 0
⇒ c = -8

Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilainilai c sehingga persamaannya menjadi:

⇒ 3x² – 2x + c = 0
⇒ 3x² – 2x + (-8) = 0
⇒ 3x² – 2x – 8 = 0

Dengan menggunakan metode pemfaktoran:

⇒ 3x² – 2x – 8 = 0
⇒ (3x + 4)(x – 2) = 0
⇒ x = -4/3 atau x = 2

Sehingga, akar lainnya yaitu -4/3.

Jawaban: B

Soal 7. Menentukan Nilai koefisien Persamaan Kuadrat

Apabila akar-akar dari persamaan x² + bx + c = 0 yaitu -1 dan 3, maka nilai b yang memenuhi persamaan itu ialah …..

A. b = 4
B. b = 2
C. b = -1
D. b = -2

Jawab:

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai  x = -1 ke persamaan:

⇒ x² + bx + c = 0
⇒ (-1)² + b(-1) + c = 0
⇒ 1 – b + c = 0
⇒ -b + c = -1
⇒ c = b – 1 …. (1)

Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 3 ke persamaan:

⇒ x² + bx + c = 0
⇒ (3)² + b(3) + c = 0
⇒ 9 + 3b + c = 0
⇒ 3b + c = -9 …. (2)

Kemudian mensubsitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), sehingga:
⇒ 3b + c = -9
⇒ 3b + (b – 1) = -9
⇒ 4b – 1 = -9
⇒ 4b = -9 + 1
⇒ 4b = -8
⇒ b = -2

Jawaban: D

Soal 8. Melengkapi Kuadrat Sempurna 

Bentuk kuadrat sempurna dari persamaan x² – 6x – 7 = 0 yaitu…

A. (x + 3)² = 16
B. (x – 3)² = 16
C. (x – 4)² = 16
D. (x – 5)² = 25

Jawab:

Langkah pertama adalah membentuk kuadrat sempurna dengan cara mengubah bentuk ax² + bx + c = 0 menjadi

x² + b/ax = -c/a.

Bentuk kuadrat sempurnanya yaitu:

⇒ x² – 6x – 7 = 0
⇒ x² – 6/1x = 7/1
⇒ x² – 6x = 7

Kedua adalah semua ruas sama-sama ditambah dengan bilangan yang sama, sehingga:
⇒ x² – 6x + (3)² = 7 + (3)²
⇒ x² – 6x + 9 = 7 + 9
⇒ (x – 3)² = 16

Jawaban: B

Soal 9. Menentukan Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar dari persamaan x² – 4x + 4 = 0 yaitu …

A. Real kembar
B. Real berbeda
C. Imajiner
D. Real berlawanan tanda

Jawab:

Berdasarkan dari nilai akarnya, kita memakai cara pemfaktoran, yaitu:

⇒ x² – 4x + 4 = 0
⇒ (x – 2)(x – 2) = 0
⇒ x = 2 atau x = 2

Yang artinya, akarnya real kembar.

Metode kedua adalah:

Tinjau nilai diskriminannya, maka:

⇒ D = b² – 4ac
⇒ D = (-4)² – 4(1)(4)
⇒ D = 16 – 16
⇒ D = 0

Untuk D = 0, akarnya ialah real kembar.

Jawaban: A

Soal 10. Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -2 serta 3 yaitu ….

A. x² – 2x – 6 = 0
B. x² – x + 6 = 0
C. x² – x – 6 = 0
D. x² + x – 6 = 0

Jawab:

Persamaan kuadratnya ialah:

⇒ (x – x₁)(x – x₂) = 0
⇒ (x – (-2))(x – 3) = 0
⇒ (x + 2)(x – 3) = 0
⇒ x² – 3x + 2x – 6 = 0
⇒ x² – x – 6 = 0

Jawaban: C

Demikianlah ulasan singkat terkait Persamaan Kuadrat yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas mengenai Persamaan Kuadrat dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.