Sama halnya dengan persamaan aljabar, sistem persamaan linier juga merupakan suatu sistem hitung dalam ilmu matematika yang bisa digambarkan dalam bentuk garis lurus pada sebuah grafik.
Sistem persamaan linier juga memiliki sebutan lain yaitu sistem persamaan garis. Selengkapnya mengenai sistem persamaan linier simak baik-baik ulasan berikut ini.
Daftar Isi
Sistem Persamaan Linier
Seperti yang telah dijelaskan di atas, persamaan linier hampir sama seperti yang ada pada persamaan aljabar.
Di mana persamaan linier ini merupakan suatu sistem hitung dalam biang ilmu matematika yang dapat digambarkan dengan menggunakan bentuk garis lurus pada suatu gambar grafik.
Dan sistem persamaan linier ini juga disebut sebagai sistem persamaan garis.
Namun, sebelum kita mempeljari bagaimana metode atau cara dalam menyelesaikan sistem persamaan linier.
Maka kita harus memahami terlebih dahulu tentang definisi dari kalimat terbuka serta definisi persamaan dan juga mengenai sistem persamaan linier itu sendiri.
Sehingga, pada saat kita dalam menyelesaikan persamaan linier kita tidak akan mengalami kebingungan.
1. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka merupakan suatu kalimat yang mempunyai variabel atau memuat variabel di dalamnya.
2. Persamaan
Persamaan merupakan suatu kalimat terbuka yang menyebutkan mengenai hubungan sama dengan (=).
3. Persamaan Linier
Persamaan persamaan linier sendiri merupakan suatu persamaan yang mana pada setiap sukunya mengandung konstanta dengan variabelnya yang berderajat satu atau tunggal.
Serta persamaan ini, dapat kita gambarkan dengan menggunakan suatu gambar grafik dalam sistem koordinat kartesius.
Dan sebuah persamaan akan tetap bernilai benar atau EKWICALENT (< = >), sehingga ruas yang kiri dan ruas yang kanan ditambah maupun dikurang dengan bilangan yang sama.
Rumus Persamaan Linier
Adapun rumus umum pada persamaan linier, yaitu:
y = mx + b
Sebagai contoh bentuk dari persamaan linier:
y = -x+5
y = -05x+2
Contoh persamaan linier dalam bentuk grafik:
Nah, dari contoh gambar di atas dapat kita simpulkan bahwa m atau gradiennya yaitu =0,5. Serta b garis yang bewarna merah atau disebut juga sebgai titik potong sumbu y nya adalah =2.
Sistem persamaan linier dapat terdiri atas satu variabel, dua variabel ataupun lebih.
Dan dalam artikel kali ini, kita akan membahas sistem persamaan linear dengan satu, dua dan tiga variabel. Berikut penjelasannya lebih lanjut.
Sistem persamaan linier satu variabel merupakan suatu konsep matematika dalam menyelesaikan kasus pada kehidupan sehari-hari yang hanya mempunyai satu variabel.
Persamaan Linier Satu Variabel (SPLSV) merupakan suatu kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) serta hanya memiliki satu variabel berpangkat satu.
Adapun bentuk umum dari persamaan linier satu variabel yaitu:
ax + b = 0
Keterangan: dengan a serta b bilangan bulat bukan nol.
Cara Penyelesaian SPLSV
Langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan linear satu variabel :
- Langkah pertama adalah menyederhanakan terlebih dahulu operasi yang ada. Berlaku juga dalam operasi pemfaktoran (bertanda kurung).
- Gabungkan suku yang di dalamnya terdapat variabel ke dalam satu ruas.
- Apabila persamaan mengandung operasi penjumlahan, maka kedua ruas harus dioperasikan dengan memakai operasi pengurangan dengan besar yang sama. Begitu juga sebaliknya.
- Apabila persamaan mengandung operasi perkalian, maka kedua ruas harus kita operasikan dengan memakai operasi pembagian dengan besar yang sama dan bukan nol. Begitu juga sebaliknya.
- Dahulukan operasi penjumlahan atau pengurangan terlebih dahulu sebelum melakukan pengerjaan operasi perkalian atau pembagian.
Contoh Soal SPLSV
Soal 1.
Gilang membeli 5 buah komik serta 1 buah pensil dengan harga keseluruhannya adalah 52.000.
Lalu, teman Gilang yang berada di sekolah menanyakan berapa harga dari satu buah buku komiknya. Namun, Gilang tidak tahu harga satu komiknya.
Dan Gilang hanya ingat harga satu pulpennya saja yakni 2000. Lalu bagaimana caranya Gilang untuk mengetahui harga satu komiknya? Berikut pejelasannya:
Langkah pertama yang harus kalian lakukan adalah menentukan terlebih dahulu variabelnya.
Ditanyakan berapa harga dari satu buah komik.
Sehingga, akan kita simbolkan x sebagai harga dari satu komik. Kemudian, ita tulis ke dalam kalimat matematikanya.
“Gilang membeli 5 buah komik serta1 buah pensil dengan harga keseluruhan yakni 52.000, dengan harga satu pensil adalah 2000” diubah menjadi 5x + 2000 = 52.000.
Setelah itu kalian dapat langsung menyelesaikannya dengan memakai beberapa langkah Sistem Persaman Linier Satu variabel.
Namun, dalam soal dia atas, langkah pertama dan langkah kedua bisa kita abaikan lho, Kenapa?
Sebab di dalam contoh tersebut persamaannya sudah dalam bentuk sederhana, tidak ada bagian yang harus difaktorkan (tidak terdapat tanda kurung).
Tak hanya itu, pada persamaan tersebut variabelnya juga tidak berada pada ruas yang berbeda, hanya terdapat di dalam satu ruas.
Namun, apabila kalian menjumpai persamaan yang mempunyai tanda kurung serta variabelnya terletak pada ruas yang berbeda. Maka kalian harus melakukan langkah pertama dan juga kedua ini ya.
Langkah ketiga, kalian harus melihat apakah pada persamaan tersebut terdapat operasi penjumlahan atau pengurangan.
Nah, di dalam contoh yang ini, terdapat operasi pertambahan. Sehingga, kalian harus melakukan proses pengurangan.
Caranya dengan melakukan operasi pengurangan dengan nilai yang sama besarnya dengan nilai pertambahan sebelumnya pada kedua ruas.
Yang artinya pada contoh soal nomor 1, kita hanya mengurangkan kedua ruas dengan 2000.
Langkah keempat, lihat kembali pada operasi persamaannya.
Dalam persamaan tersebut terdapat operasi perkalian, sehingga kita harus melakukan operasi pembagian pada kedua ruasnya.
Kita kemudian bagi dengan nilai yang sama dengan perkaliannya ya!
Pada contoh soal nomor 1, kita dapat membagi kedua ruasnya dengan 5.
Akhirnya kita dapatkan variabelnya sudah sendiri tuh, tertulis bahwa x sama dengan 10.000.
Sehingga, sudah kita ketahui jawabannya yakni harga dari satu komiknya adalah 10.000.
Perlu kalian perhatikan dan ingat ya guys, kita harus dahulukan operasi pertambahan atau pengurangan (supaya variabelnya bisa kita cari) lalu dilanjutkan dengan operasi perkalian atau pembagian.
Soal 2.
Zaidan dan Laras merupakan kakak beradik. Hari ini Laras tengah berulang tahun yang ke 6. Saat ini usia Zaidan 10 tahun lebih tua daripada umur Laras. Berapakah usia Zaidan saat ini?
Untuk menjawab kasus di atas, kita dapat menggunakan prinsip persamaan linier satu variabel.
Pembahasan!
Perlu diketahui jika usia Zaidan 10 lebih tua dari Laras adiknya. Usia Laras saat ini adalah 6 tahun.
Sehingga, kita misalkan usia Ziadan saat ini ayitu x tahun, sehingga kita dapatkan hasilnya adalah:
Diketahui:
X = usia Zaidan saat ini
X – 10 = usia Laras saat ini
6 = usia Laras saat ini
Maka, penyelesaiannya adalah seperti berikut ini:
X – 10 = 6 (setiap ruas di tambah 10)
X – 10 + 10 = 6 + 10
X = 16
Sehingga, usia Zaidan saat ini adalah 16 tahun.
Sebelum kita membahas ke dalam bab Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Kalian harus mengetahui terlebih dahulu mengenai beberapa komponen yang berhubungan di dalam sub materi tersebut. Diantaranya adalah:
1. Suku
Suku merupakan sebuah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri atas variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan menggunakan tanda baca penjumlahan maupun pengurangan.
Contoh:
6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut yaitu 6x , -y, 4z dan 7.
2. Variabel
Variabel merupakan peubah atau pengganti dari suatu bilangan yang pada umumnya dilambangkan dengan pemakaian huruf seperti x, y dan z.
Contoh:
Yulisa mempunyai 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Apabila kita tulis dalam bentuk persamaan maka:
Contoh: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu 2x + 5y + 6z.
3. Koefisien
Koefisien merupakan sebuah bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis.
Koefisien disebut juga sebagai bilangan yang terdapat di depan variabel, sebab penulisan dari suatu persamaan koefisien berada di depan variabel.
Contoh:
Gilang mempunyai 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Apabila kita tuliskan ke dalam bentuk persamaan maka:
Contoh: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu 2x + 5y + 6z.
Dari persamaan tersebut, maka dapat diketahui bahwa 2, 5 dan 6 merupakan koefisien di mana 2 merupakan koefisien x , 5 merupakan koefisien y serta 6 merupakan koefisien z.
4. Konstanta
Konstanta merupakan sebuah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga akan mempunyai nilai yang tetap atau konstan untuk berapa pun nilai variabel atau peubahnya.
Contoh:
2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstantanya yaitu 7. Sebab, 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapa pun variabelnya.
Setelah mengetahui komponen-komponen di atas, yuk langsung saja kita kepembahasan berikutnya. Simak baik-baik ya.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel atau yang biasa kita sebut sebagai SPLDV merupakan dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya serta mempunyai satu penyelesaian.
Bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel yaitu:
ax + by = c
px + qy = d
Keterangan:
- x dan y disebut sebagai variabel
- a, b, p dan q disebut sebagai koefisien
- c dan r disebut sebagai konstanta
SPLDV pad aumumnya dimanfaatkan guna menyelesaikan masalah sehari-hari yang memerlukan pemakaian Matematika.
Sebagai contoh ketika hendak menentukan harga pada suatu barang, mencari keuntungan penjualan, hingga menentukan ukuran suatu benda..
Adapun beberapa langkah tertentu untuk menyelesaikan masalah dengan memakai SPLDV, antara lain:
- Mengganti setiap besaran yang terdapat dalam masalah tersebut dengan variabel (biasanya dilambangkan dengan huruf atau simbol).
- Membuat model Matematika dari masalah tersebut. Model Matematika ini kemudian dirumuskan dan mengikuti bentuk umum SPLDV.
- Mencari solusi dari model permasalahan tersebut dengan cara memakai metode penyelesaian SPLDV.
Cara Penyelesaian SPLDV
1. Metode Eliminasi
Pada metode eliminasi digunakan guna menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel.
Carangan yakni dengan cara menghilangkan atau mengeliminasi salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut.
Jika variabel dinyatakan dengan x dan y, untuk menentukan variabel x maka kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, begitu juga sebaliknya.
Coba perhatikan bahwa jika suatu koefisien dari salah satu variabel sama maka kita bisa mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut.
Untuk lebih jelasnya, kami berikan contoh permasalahan di bawah ini:
Contoh:
Dengan metode eliminasi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 !
Penyelesaian:
2x + 3y = 6 dan x – y = 3
Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah eliminasi variabel y.
Untuk mengeliminasi variabel y, maka koefisien y harus sama, sehingga persamaannya yakni: 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan
x – y = 3 dikalikan dengan 3.
2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6
x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9
5x = 15
x = 15/5
x = 3
Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah eliminasi variabel x.
Sama halnya pada langkah pertama, untuk mengeliminasi variabel x, maka koefisien pada x harus sama, sehingga persamaan yang kita dapat adalah 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan
x – y = 3 dikalikan 2.
2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6
x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6
5y = 0
y = 0/5
y = 0
Sehingga, himpunan penyelesaiannya yaitu {(3,0)}.
2. Metode Substitusi
Metode Substitusi merupakan sebuah metode untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi.
Yang mana kita akan menggunakan cara menyebutkan terlebih dahulu variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan.
Kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel tersebt ke dalam persamaan yang lainnya.
Contoh:
Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut 2x +3y = 6 dan x – y = 3.
Penyelesaiannya:
Persamaan x – y = 3 merupakan ekuivalen dengan x = y + 3.
Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 maka bisa kita dapatkan data sebagai berikut:
2x + 3y = 6
ó 2 (y + 3) + 3y = 6
ó 2y + 6 + 3y = 6
ó 5y + 6 = 6
ó 5y + 6 – 6 = 6 – 6
ó 5y = 0
ó y = 0
Lalu untuk mendapatkan nilai x, maka substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga akan kita peroleh:
x = y + 3
ó x = 0 + 3
ó x = 3
Sehingga, himpunan penyelesaiaanya yaitu {(3,0)}
3. Metode Gabungan
Metode gabungan merupakan sebuah cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode gabungan. Di mana kita akan menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.
Contoh:
Dengan menggunakan metode gabungan di atas, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !
Penyelesaiannya:
Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah dengan menerapkan metode eliminasi, sehingga akan kita peroleh:
2x – 5y = 2 ×1 2x – 5y = 2
x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12
-15y = -10
y = (-10)/(-15)
y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga akan kita peroleh:
x + 5y = 6
ó x + 5 (2/3) = 6
ó x + 10/15 = 6
ó x = 6 – 10/15
ó x = 22/3
Sehingga, himpunan penyelesaiaanya yaitu {(2 2/3,2/3)}
4. Metode Grafik
Penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode grafik dilakukan dengan cara menentukan koordinat titik potong dari kedua garis yang mewakili kedua persamaan linear.
Namun, sebelum menggunakan metode grafik ini, kalian perlu belajar bagaimana cara untuk menggambar garis pada persamaan linear terlebih dahulu.
- Menggambar garis yang mewakili kedua persamaan dalam bidang kartesius.
- Menentukan titik potong dari kedua grafik tersebut.
- Penyelesaiannya merupakan titik pada (x, y).
Permasalahan dalam SPLDV:
- Persamaan pertama: 2x + 3y = 8
- Persamaan Kedua: 3x + y = 5
Penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode grafik.
Langkah 1: menggambar kedua grafik
Menentukan titik potong pada kedua sumbu x dan y dari kedua persamaan tersebut.
Reperesentasi kedua persamaan dalam bidang kartesius.
Langkah 2: menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut.
Langkah 3: peyelesaiannya adalah (x, y)
Berdasarkan gambar bisa kita ketahui bahwa titik potongnya berada pada x = 1 dan y = 2
Maka daerah penyelesaiannya yaitu (1, 2).
Contoh Soal SPLDV
Soal 1.
Putra ingin melakukan lompat tali. Misalnya, tali yang dipakai oleh Putra mempunyai panjang 70 cm lebih pendek dari tinggi Putra.
Supaya tali tidak tersangkut di tubuh Putra, maka setidaknya tali yang digunakan harus mempunya panjang dua kali lebih panjang dari ukuran sebelumnya.
Sehingga, jika diukur kembali, maka ukuran dua kali panjang tali akan 30 cm lebih panjang dari tinggi Putra.
Tentukan berapa ukuran panjang tali yang digunakan serta tinggi badan Putra! Serta tentukan berapa panjang tali yang digunakan supaya tidak tersangkut di badan Putra!
Jawab:
- Langkah pertama yang bisa kita lakukan yaitu dengan cara mengganti seluruh besaran yang terdapat di dalam soal dengan variabel. Disini kita misalkan seperti:
x = panjang tali (dalam cm) dan y = tinggi badan (dalam cm)
- Membuat model Matematika dari permasalahan soal.
Panjang tali 70 cm lebih pendek dari tinggi Kumamon → x = y – 70 atau -x + y = 70
Dua kali panjang tali 30 cm lebih panjang dari tinggi Kumamon → 2x = 30 + y atau 2x – y = 30
Sehingga, model Matematika dari soal di atas yaitu:
- Persamaan I : -x + y = 70
- Persamaan II : 2x – y = 30
Sampai disini kalian paham kan? Nah, setelah ini kita akan menentukan nilai dari x dan y dengan menggunakan empat metode penyelesaian SPLDV. Simak baik-baik ya.
1. Metode grafik
Sehingga, akan kita dapatkan titik potong dari kedua garis yaitu (x,y) = (100,170).
Sebelumnya, kita sudah mengibaratkan panjang tali dengan variabel x dan tinggi Putra dengan variabel y.
Maka, sudah bisa ditentukan nih berapa panjang tali dan juga tinggi si Putra itu. Yups! Jawabannya yaitu 100 cm untuk panjang tali serta 170 cm untuk tinggi Putra.
Gampang kan? Metode grafik ini biasanya berguna apabila nilai koefisien dan nilai konstanta dari persamaannya bukan merupakan bilangan bulat, sehingga akan lebih baik jika digambar untuk memudahkan mencari nilai dari x dan y nya.
2. Metode eliminasi
Diketahui:
- Persamaan I : -x + y = 70
- Persamaan II : 2x – y = 30
Untuk mencari nila x, samakan koefisien y
-x + y = 70
2x – y = 30
Sebab koefisien y dari kedua persamaan tersebut sudah sama, maka bisa langsung kita selesaikan dengan menggunakan operasi penjumlahan untuk menghilangkan nilai y.
-x + y = 70
2x – y = 30
________ +
x =100
Untuk mencari nilai y, samakan koefisien x
-x + y = 70 |x2|
2x – y = 30 |x1|
Suapya koefisien x dari kedua persamaan sama, maka kalikan persamaan I dengan 2 dan kalikan persamaan II dengan 1.
Kemudian, selesaikan dengan menggunakan operasi penjumlahan untuk menghilangkan nilai x.
-2x + 2y = 140
2x – y = 30
_________ +
y = 170
3. Metode substitusi
Diketahui:
- Persamaan I : -x + y = 70
- Persamaan II : 2x – y = 30
Untuk mencari nilai x, maka cari nila y terlebih dahulu.
Daro persamaan I: -x + y = 70 → y = 70 + x
Kemudian, subsitusi nilai y ke dalam persamaan II:
2x – y = 30
→ 2x-(70+x) = 30
→ 2x-70-x = 30
→ x-70 = 30
→ x= 100
Setelah itu, subsitusikan nilai x ke persamaan y = 70 + x
y = 70 + x
→ y = 70 + 100
→ y= 170
Berdasarkan metode substitusi, kita peroleh nilai x = 100 dan y = 170. Sehingga, bisa kita ketahu jika tinggi badan Putra adalah sebesar 170 cm serta tali yang digunakan oleh Putra untuk bermain lompat tali sepanjang 100 cm.
4. Metode gabungan
Diketahui:
- Persamaan I : -x + y = 70
- Persamaan II : 2x – y = 30
Misalkan, kita akan mencari nilai x terlebih dahulu dengan menggunakan metode eliminasi. Maka untuk menentukan nilai x samakan koefisien y.
-x + y = 70
2x – y = 30
Karena koesifisien y dari kedua persamaan sudah ada, maka dapat langsung diselesaikan dengan menggunakan operasi penjumlahan untuk menghilangkan nilai y.
x + y = 70
2x – y = 30
________ +
x =100
Setelah diperoleh nilai x, subsitusikan nilai x ke salah satu persamaan untuk memperoleh nilai y.
Misalnya, dilakukan subtitusi nilai x ke dalam persamaan I, maka:
-x + y = 70
→ 100 + y = 70
→ y = 70 + 100
→ y = 170
Berdasarkan dari metode gabungan, didapatkan nilai x = 100 dan y = 170. Sehingga, bisa kita ketahui jika panjang tali sepanjang 100 cm serta tinggi Putara adalah 170 cm.
Perlu kalian ketahui jika metode gabungan ini adalah metode yang paling banyak digunkan untuk menyelesaikan masalah SPLDV.
Kemudian, kita akan mencari tahu berapa panjang tali yang dibutuhkan supaya Putra bisa bermain lompat tali tanpa harus tersangkut di tubuhnya.
Apabila kalian baca kembali contoh soal di atas, maka bisa kita ketahui jika setidaknya, tali tersebut harus dua kali lebih panjang dari ukuran sebelumnya (2x).
Sehingga, sudah bisa kita ketahui ya kalau panjang tali yang dibutuhkan supaya tidak tersangkut di tubuh Putra yaitu 2x = 2(100) = 200 cm.
Walaupun kelihatannya panjang dan rumit, namun apabila kalian memperbanyak latihan soal, pasti akan mudah, kok. Semangat terus ya.
Soal 2. (UN 2015)
Di dalam kandang terdapat kambing dan ayam sebanyak 13 ekor. Jika jumlah kaki hewan tersebut 32 2kor, maka jumlah kambing dan ayam masing-masing adalah….
A. 3 dan 10
B. 4 dan 9
C. 5 dan 8
D. 10 dan 3
Jawab:
Misalkan:
Kambing = x dan ayam = y
Jumlah kaki kambing = 4 dan kaki ayam = 2
Ditanyakan: Jumlah kambing dan ayam = …?
Model matematika:
x + y = 13 ……(1)
4x + 2y = 32 ……(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) akan kita dapatkan:
x + y = 13 | x4 | 4x + 4y = 52
4x + 2y = 32 | x1 | 4x + 2y = 32 –
⟺ 2y = 20
⟺ y = 20/2
⟺ y = 10
Subtitusi nilai y = 10 ke salah satu persamaan:
x + y = 13
⟺ x + 10 = 13
⟺ x = 13 – 10
⟺ x = 3
Sehingga, jumlah kambing = 3 ekor dan ayam = 10 ekor.
(Jawaban : A)
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel merupakan bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Yang mana, pada sistem persamaan linear tiga variabel terdiri dari tiga persamaan yang masing-masing persamaan memiliki tiga variabel (misal x, y dan z).
Dengan begitu, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, dan z dapat dituliskan seperti berikut ini:
Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 adalah bilangan-bilangan real.
Keterangan:
- a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x
- b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y
- c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z
- d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta
- x, y, z = variabel atau peubah
Ciri–ciri SPLTV
Sebuah persamaan disebut sebagai sistem persamaan linear tiga variabel jika persamaan tersebut mempunyai karakteristik seperti berikut ini:
- Memakai relasi tanda sama dengan (=)
- Mempunyai tiga variabel
- Ketiga variabel tersebut mempunyai derajat satu (berpangkat satu)
Syarat SPLTV mempunyai Satu Penyelesaian
Sebuah sistem persamaan linier 3 variabel akan tepat mempunyai suatu penyelesaian atau satu himpunan penyelesaian apabila dapat memenuhi syarat atau ketentuan seperti di bawah ini:
Terdapat lebih dari satu atau ada tiga persamaan linier tiga variabel yang sejenis.
Contoh:
- x + y + z = 5
- x + 2y + 3z = 6
- 2x + 4y + 5z = 9
Persamaan Linier Tiga Variabel yang membentuk Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel, bukan merupakan Persamaan Linier Tiga Variabel yang sama.
Contoh:
- 2x − 3y + z = −5
- 2x + z − 3y + 5 = 0
- 4x – 6y + 2z = −10
Ketiga persamaan di atas adalah sistem persamaan linear tiga variabel yang sama sehingga tidak mempunyai tepat satu himpunan penyelesaian.
Cara Penyelesaian SPLTV
Bentuk umum dari sistem persamaan linear tiga variabel bisa kita tuliskan seperti di bawah ini:
Apabila nilai x = x0, y = y0, dan z = z0, ditulis dengan pasangan terurut (x0, y0, z0), memenuhi SPLTV di atas, maka haruslah berlaku hubungan sebagai berikut.
Dalam hal yang seperti itu, (x0, y0, z0) disebut sebagai penyelesaian sistem persamaan linear tersebut serta himpunan penyelesaiannya ditulis sebagai {(x0, y0, z0)}.
Sebagai contoh, adanya SPLTV seperti di bawah ini:
- 2x + y + z = 12
- x + 2y – z = 3
- 3x – y + z = 11
SPLTV di atas memiliki penyelesaian (3, 2, 4) dengan himpunan penyelesaiannya yaitu {(2, 3, 4)}.
Untuk membuktikan kebenaran bahwa (3, 2, 4) adalah penyelesaian dari SPLTV tersebut, maka subtitusikanlah nilai dari x = 3, y = 2 dan z = 4 ke dalam persamaan 2x + y + z = 12, x + 2y– z = 3 dan 3x – y + z = 11, sehingga akan kita dapatkan:
⇔ 2(3) + 2 + 4 = 6 + 2 + 4 = 12, benar
⇔ 3 + 2(2) – 4 = 3 + 4 – 4 = 3, benar
⇔ 3(3) – 2 + 4 = 9 – 2 + 4 = 11, benar
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sebuah sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) bisa di cari dengan menggunakan beberapa cara atau metode, antara lain dengan menggunakan:
- Metode subtitusi
- Metode eliminasi
- Metode gabungan atau campuran
- Metode determinan
- Metode invers matriks
Berikut akan kami berikan ulasan dari metode subtitusi, eliminasi dan gabungan pada sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
1. Metode Subtitusi
Berikut ini merupakan tahapan yang digunakan untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode subtitusi, antara lain:
Tahap 1:
Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, lalu nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
Tahap 2:
Subtitusikan x atau y atau z yang kita dapatkan di tahap pertama ke dalam dua persamaan yang lainnya. Sehingga akan kita peroleh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
Tahap 3:
Menyelesaikan SPLDV yang ada pada tahap nomor dua.
Agar kalian lebih paham mengenai cara penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode subtitusi, berikut kami berikan beberapa contoh soal dan pembahasannya.
Soal 1.
Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV di bawah ini dengan menggunakan metode subtitusi:
Jawab:
Langkan pertama adalah menentukan terlebih dahulu persamaan yang paling sederhana.
Dari ketiga persamaan tersebut, persamaan pertama adalah yang paling sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z seperti berikut ini:
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x = 2y – z + 6
Subtitusikan variabel atau peubah x ke dalam persamaan kedua
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4
⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
⇒ 7y – 5z + 18 = 4
⇒ 7y – 5z = 4 – 18
⇒ 7y – 5z = –14 …………… Pers. (1)
Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10
⇒ 8y – 8z + 42 = 10
⇒ 8y – 8z = 10 – 42
⇒ 8y – 8z = –32
⇒ y – z = –4 ……………… Pers. (2)
Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV y serta z:
Kemudian menyelesaikan SPLDV di atas dengan menggunakan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana. Pada hal ini persamaan kedua merupakan persamaan yang paling sederhana.
Dari persamaan kedua, maka kita dapatkan:
⇒ y – z = –4
⇒ y = z – 4
Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan pertama
⇒ 7y – 5z = –14
⇒ 7(z – 4) – 5z = –14
⇒ 7z – 28 – 5z = –14
⇒ 2z = –14 + 28
⇒ 2z = 14
⇒ z = 14/2
Subtitusikan nilai z = 7 ke salah satu SPLDV, sebagai contoh y – z = –4 sehingga akan kita dapatkan:
⇒ y – z = –4
⇒ y – 7 = –4
⇒ y = –4 + 7
⇒ y = 3
Lalu, subtitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke salah satu SPLTV, sebagai contoh x – 2y + z = 6 sehingga akan kita dapatkan:
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x – 2(3) + 7 = 6
⇒ x – 6 + 7 = 6
⇒ x + 1 = 6
⇒ x = 6 – 1
⇒ x = 5
Dengan begitu, kita dapatkan x = 5, y = 3 dan z = 7. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV soal tersebut yaitu {(5, 3, 7)}.
Persamaan I:
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6
⇒ 5 – 6 + 7 = 6
⇒ 6 = 6 (benar)
Persamaan II:
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4
⇒ 15 + 3 – 14 = 4
⇒ 4 = 4 (benar)
Persamaan III:
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10
⇒ 35 – 18 – 7 = 10
⇒ 10 = 10 (benar)
2. Metode Eliminasi
Berikut ini merupakan tahapan yang digunakan untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode eliminasi, antara lain:
Tahap 1:
Pilih bentuk peubah atau variabel yang paling sederhana.
Tahap 2:
Hilangkan atau eliminasi salah satu peubah (contohnya x) sehingga akan kita dapatkan SPLDV.
Tahap 3:
Hilangkan atau eliminasi salah satu peubah SPLDV (contohnya y) sehingga akan kita dapatkan salah satu peubah.
Tahap 4:
Eliminasi atau hilangkan peubah lainnya (yakni z) untuk mendapatkan nilai peubah yang kedua.
Tahap 5:
Menentukan nilai peubah ketiga (yakni x) berdasarkan nilai (y dan z) yang didapatkan.
Agar kalian lebih paham mengenai cara penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi, berikut kami berikan beberapa contoh soal dan pembahasannya.
Soal 1.
Dengan memakai metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel di bawah ini:
Jawab:
Langkah awal yang kita lakukan adalah menentukan variabel mana yang akan dieliminasi terlebih dulu.
Untuk mempermudah, kita pilih variabel yang paling sederhana.
Dari ketiga SPLTV di atas, kita ketahui variabel yang paling sederhana yaitu x sehingga kita akan mengeliminasi x terlebih dulu.
Untuk mengeliminasi variabel x, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing x dari ketiga persamaan. Perhatikan ulasan di bawah ini;
Supaya ketiga koefisien x sama, maka akan kita kalikan persamaan pertama dan persamaan III dengan 2 sementara persamaan II kita kalikan 1. Berikut caranya:
x + 3y + 2z = 16 |x2| → 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y – 2z = 12 |x1| → 2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20 |x2| → 2x + 2y + 8z = 40
Sesudah koefisien x ketiga persamaan telah sama, selanjutnya langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa sampai variabel x hilang. Berikut caranya:
Dari persamaan pertama dan kedua:
2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y – 2z = 12
__________ –
2y + 6z = 20
Dari persamaan kedua dan ketiga:
2x + 4y – 2z = 12
2x + 2y + 8z = 40
__________ –
2y – 10z = -28
Dengan begitu, maka kita dapatkan SPLDV seperti berikut ini:
Langkah berikutnya yaitu menyelesaikan SPLDV di atas dengan menggunakan metode eliminasi.
Lagkah pertama adalah menentukan nilai y dengan mengeliminasi z.
Untuk bisa mengeliminasi variabel z, maka kita harus menyamakan koefisien dari z kedua persamaan tersebut. Perhatikan ulasan di bawah ini.
Supaya kedua koefisien z sama, maka persamaan pertama akan kita kalian dengan 5 sementara untuk persamaan kedua kita kali dengan 3.
Selepas itu, kedua persamaan tersebut kita jumlahkan. Berikut caranya:
2y + 6z = 20 |×5| → 10y + 30z = 100
2y – 10z = -28 |×3| → 6y – 30z = -84
___________ +
16y = 16
y = 1
Kedua, kita mencari nilai z dengan cara mengeliminasi y. Untuk bisa menghilangkan variabel y, maka kita harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan tersebut.
Berhubung koefisien y kedua persamaan telah sama, maka kita dapat langsung mengurangkan kedua persamaan tersebut. Berikut caranya:
2y + 6z = 20
2y – 10z = -28
__________ _
16z = 48
z = 3
Hingga di tahap ini maka kita telah mendapatkan nilai y = 1 dan z = 3.
Langkah yang terakhir, untuk memperoleh nilai x, kita subtitusikan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV. Sebagai contoh persamaan x + y + 4z = 20 sehingga akan kita dapatkan:
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x + 1 + 4(3) = 20
⇒ x + 1 + 12 = 20
⇒ x + 13 = 20
⇒ x = 20 – 13
⇒ x = 7
Dengan begitu, akan kita dapatkan nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas yaitu {(7, 1, 3)}.
3. Metode Gabungan atau Campuran
Penyelesaian untuk sistem persamaan linier dengan memakai metode gabungan atau campuran adalah cara penyelesaian dengan cara menggabungkan dua metode sekaligus.
Metode yang dimaksud adalah metode eliminasi dan metode subtitusi.
Metode ini dapat digunakan dengan menggunakan metode subtitusi terlebih dahulu atau dengan eliminasi terlebih dahulu.
Dan kali ini, kita akan mencoba metode gabungan atau campuran dengan 2 teknik yakni:
- Mengeliminasi terlebih dahulu baru selanjutnya memakai metode subtitusi.
- Mensubtitusi terlebih dahulu baru lalu memakai metode eliminasi.
Prosesnya hampir sama seperti yang terdapat pada penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi dan metode subtitusi.
Agar kalian lebih paham mengenai cara penyelesaian SPLTV dengan menggunakan gabungan atau campuran ini, berikut kami berikan beberapa contoh soal dan pembahasannya.
Soal 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier tiga variabel di bawah ini dengan memakai metode gabungan.
Jawab:
- Metode Subtitusi (SPLTV)
Langkah pertama menentukan persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan di atas, dapat kita ketahui bahwa persamaan ketiga merupakan persamaan yang paling sederhana.
Dari persamaan ketiga, nyatakan variabel z sebagai fungsi y dan z seperti berikut ini:
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x = 20 – y – 4z ………… Pers. (1)
Lalu, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV yang pertama.
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16
⇒ 2y – 2z + 20 = 16
⇒ 2y – 2z = 16 – 20
⇒ 2y – 2z = –4
⇒ y – z = –2 …………. Pers. (2)
Kemudian, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV yang kedua.
⇒ 2x + 4y – 2z = 12
⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12
⇒ 40 – 2y – 8z + 4y – 2z = 12
⇒ 2y – 10z + 40 = 12
⇒ 2y – 10z = 12 – 40
⇒ 2y – 10z = –28 ………… Pers. (3)
Dari persamaan (2) serta persamaan (3) kita dapatkan SPLDV y dan z seperti berikut ini:
- Metode Eliminasi (SPLDV)
Untuk mengeliminasi atau menghilangkan y, maka kalikan SPLDV yang pertama dengan 2 supaya koefisien y kedua persamaan sama.
Berikutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga akan kita dapatkan nilai z seperti berikut ini:
y – z = -2 |×2| → 2y – 2z = -4
2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8z = 24
z = 3
Untuk menghilangkan z, maka kalikan SPLDV yang pertama dengan 10 supaya koefisien z pada kedua persamaan sama.
Kemudian kita kurangkan kedua persamaan sehingga akan kita dapatkan nilai y seperti berikut ini:
y – z = -2 |×10| → 10y – 10z = -20
2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8y = 8
z = 1
Hingga tahap ini, kita dapatkan nilai y = 1 dan z = 3.
Langkah yang terakhir yakni menentukan nilai x. Cara untuk menentukan nilai x yaitu dengan cara memasukkan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV. Sebagai contoh x + 3y + 2z = 16 sehingga akan kita dapatkan:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 – 9
⇒ x = 7
Dengan begitu, maka kita dapatkan nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV dari soal di atas yaitu {(7, 1, 3)}.
Demikianlah ulasan singkat terkait Sistem Persamaan Linear yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.
